Итак, вопрос.
Разрезав куб на две равные половинки, мы получим в сечении …?
- A: квадрат;
- B: прямоугольник;
- C: ромб;
- D: шестиугольник.

Если вы думаете, что ответ A (квадрат) очевиден и отбрасываете все другие ответы, то делаете большую ошибку. Может показаться, что например, такой вариант ответа как D: (шестиугольник) здесь заведомо лишний. Но это не так. Здесь все варианты ответов верные!

В качестве идеи для этой статьи послужила популярная игра «Fruit ninja». Где необходимо разрезать мечом летящие фрукты. Допустим, что фрукты в большинстве, имеют круглую или овальную форму. Разрезая такие фрукты на половинки, обратите внимание, что будет в месте разреза. Какая геометрическая форма? Если мы разрезаем точно и быстро, то будет сечение в форме круга или овала.
А как вам предложение разрезать классический куб? Здесь уже придется подумать.
Но мы ещё усложним задачу. Задача разрезать куб таким образом, чтобы после разреза получились равные половинки.

Как продемонстрировать, что это возможно? Как доказать, что куб можно разрезать на две равные половинки?
Для этого мы рассмотрим каждый вариант ответа и изготовим модели кубов состоящие из двух половинок.
У нас будет развёртка только одной половинки, чтобы исключить всякие сомнения.
А как же вторая половинка?
Вторая половинка должна быть точно такая же, как и первая. Тогда утверждение будет доказано.
Просто ещё раз соберите половинку из этой же развёртки.
Сложите половинки вместе, и вы получите исходный куб!

Квадратное сечение.

 

Квадратное сечение, куба можно получить разными способами (2, 3). Но получить квадратное сечение с условием, что две половинки будут равны, можно только одним единственным способом (1).

 

Мы изготовим куб из бумаги. Размеры куба определяются длиной стороны, мы выбираем 70 мм.
Такую развёртку, будет удобно разместить на листе стандартного формата А4. Модель куба с длинной стороны 70 мм будет весьма удобно держать в руках.

Нам потребуется:
- два листа бумаги А4;
- ножницы;
- клей.

Скачать развёртку куба

1. Распечатайте развёртку дважды.

2. Аккуратно вырежьте развёртку по контуру.

3. Согните лепестки в местах сгиба.

4. Склейте лепестки в указанной последовательности.

5. Для наглядности вы можете соединить две половинку куба липкой лентой (скотчем).

Итак, первое доказательство получено!
Куб можно разрезать на две равные половинки с сечением, в форме квадрата.

Прямоугольное сечение.

 

Прямоугольное сечение, куба также можно получить разными способами (2, 3). И все эти варианты будут правильными. Так как выполняются оба условия:
- сечение – прямоугольник;
- куб разделен на две одинаковые половинки.
Для нашей модели мы выбираем вариант имеющий сечение прямоугольник с максимальной площадью (1).

 

Мы изготовим куб из бумаги.

Нам потребуется:
- два листа бумаги А4;
- ножницы;
- клей.

Скачать развёртку куба

1. Распечатайте развёртку дважды.

2. Аккуратно вырежьте развёртку по контуру.

3. Согните лепестки в местах сгиба.

4. Склейте лепестки в указанной последовательности.

5. Для наглядности вы можете соединить две половинку куба липкой лентой (скотчем).

Итак, второе доказательство получено!
Куб можно разрезать на две равные половинки с сечением, в форме прямоугольника.

Сечение куба в форме ромба.

 

Сечение в форме ромба можно получить одним единственным способом.

 

Мы изготовим куб из бумаги.
Нам потребуется:
- два листа бумаги А4;
- ножницы;
- клей.

Скачать развёртку куба

1. Распечатайте развёртку дважды.

2. Аккуратно вырежьте развёртку по контуру.

3. Согните лепестки в местах сгиба.

4. Склейте лепестки в указанной последовательности.

5. Для наглядности вы можете соединить две половинку куба липкой лентой (скотчем).

Итак, третье доказательство получено!
Куб можно разрезать на две равные половинки с сечением, в форме ромба.

Сечение – правильный шестиугольник.

 

Разрезая куб на две равные половинки, мы можем получить как сечение в форме шестиугольника неправильной формы (2), так и сечение в форме шестиугольника правильной формы (1). Наклон плоскости сечения относительно выделенной оси симметрии позволяет сделать необходимый разрез. Предельный наклон плоскости создает сечение в форме ромба (3).
Для нашей модели мы выбираем вариант с сечением в форме правильного шестиугольника.

 

Мы изготовим куб из бумаги.

Нам потребуется:
- два листа бумаги А4;
- ножницы;
- клей.

Скачать развёртку куба

1. Распечатайте развёртку дважды.

2. Аккуратно вырежьте развёртку по контуру.

3. Согните лепестки в местах сгиба.

4. Склейте лепестки в указанной последовательности.

5. Для наглядности вы можете соединить две половинку куба липкой лентой (скотчем).

Итак, четвертое доказательство получено!
Куб можно разрезать на две равные половинки с сечением, в форме правильного шестиугольника.

Какой вывод можно сделать из этой статьи?
Иногда нашему воображению достаточно сложно представить операции с объемными телами. Но если мы покрутим предмет в руках, ситуация проясняется.

Узнать ещё о сечениях геометрических тел можно здесь.