Когда формула Эйлера для многогранников не работает

Формула Эйлера для многогранников – это удивительная математическая формула, которая связывает количество вершин, рёбер и граней многогранника. 

Эта формула гласит:

В−Г+Р=2

где
В — количество вершин;
Р — количество рёбер;
Г — количество граней многогранника.

Можно представить формулу Эйлера как волшебное правило, которое помогает нам узнать, можно ли построить многогранник с определенным числом вершин, рёбер и граней. Если мы сложим количество вершин и граней, а потом вычтем количество рёбер, и у нас получится 2, то всё правильно!

Давайте рассмотрим, как работает эта формула на примере куба.

Куб имеет: 8 вершин, 12 рёбер и 6 граней.

Теперь подставим эти значения в формулу Эйлера:

8−12+6=2
2=2

И вот, формула Эйлера подтверждает, что куб — правильный многогранник, поскольку при подстановке значений получается верное равенство.

Попробуем усложнить задачу.
Мы взяли кубик и сделали в нем два отверстия, прямо напротив друг друга. Эти отверстия тоже имеют форму кубиков, только поменьше (2/3 основного куба).
Теперь давайте посмотрим, что у нас получилось.

Видите, это не просто кубик! Это что-то похожее на колечко. В математике такую фигуру называют тороидом. Вы могли слышать о тороидах, как об одной из интересных геометрических фигур, например, многограннике Силаши, который открыл ученый из Венгрии по имени Лайош Силаши.

Задача!
Попробуйте посчитать количество вершин, рёбер и граней для этого многогранника и подставить в формулу Эйлера.
В−Г+Р=?
Найдите решение.

Для наглядности мы предлагаем вам собрать модель такого многогранника из картона.
Здесь можно скачать развертку для сборки кубика с размером ребра 66 мм:

Чтобы сделать нашу модель, мы будем собирать её из трех частичек!
Первый Шаг: Возьмите первую часть и соедините её так, чтобы получилось колечко!

Второй Шаг: Теперь приклеиваем вторую часть к нашему колечку.

Третий Шаг: И последний этап! Приклеиваем третью часть.

Получаем тороид на основе куба.

Решение задачи:
Чтобы посчитать количество граней, проще всего воспользоваться развёрткой нашей модели. Считаем закрашенные грани. Их будет 12.
Количество вершин можно посчитать на картинке:

Чтобы не сбиться со счета, пересчитываем рёбра сначала параллельные одной стороне, потом параллельные второй и третьей:

Наш новый многогранник имеет: 24 вершины, 36 рёбер и 12 граней.

Подставляем значения в формулу Эйлера
24 – 36 +12 = 0

! получаем значение 0, а не 2 как в исходном виде формулы.

Почему? 

Формула Эйлера, о которой мы говорили ранее, относится к выпуклым многогранникам, таким как куб или пирамида, и она не применима напрямую к более сложным поверхностям, таким как тороиды.

Однако, для топологических объектов, таких как тороид, существует более обобщенная версия формулы Эйлера, которая также учитывает число компонент связности и число "дырок" в поверхности:

В−Р+Г=2−2g

Здесь:
В - количество вершин
Р - количество рёбер
Г - количество граней
g - генус (род) поверхности (количество "дырок")
Для тороида, который имеет одну "дырку" (то есть тороид является поверхностью генуса 1), формула становится следующей:

В−Р+Г=2−2⋅1=0

Таким образом, для тороида число вершин минус число рёбер плюс число граней равно нулю. Это обобщение формулы Эйлера помогает математикам изучать разнообразные и сложные формы, выходя за рамки простых многогранников.

© mnogogranniki.ru  29/09/2023