Кубооктаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы кубооктаэдра

R=a

    где a - длина стороны.

Напротив, поместить сферу внутрь кубооктаэдра так, чтобы она касалась одновременно всех сторон не удастся. Для выполнения этого условия сфера должна касаться всех квадратов и треугольников. Но расстояния разные.

Площадь поверхности кубооктаэдра.

Площадь поверхности можно определить по следующей формуле:

Объем кубооктаэдра определяется по следующей формуле:

Кубооктаэдр можно разделить плоскостью на две равные части.

При этом сечение будет иметь форму правильного шестиугольника.
Возможны следующие четыре варианта разреза кубооктаэдра:

Знаменитая математическая задача "О семи кёнигсбергских мостах" или Путь Эйлера может быть переформулирована и рассмотрена на примере ребер кубооктаэдра.

Как последовательно обойти все ребра кубооктаэдра? Одного ребра нельзя касаться дважды.

На рисунке приведен анимационный пример решения этой задачи.

Одно из названий задачи - Путь Эйлера. В честь знаменитого математика Леонарда Эйлера.