Сечения зеленого куба

Задача № 2

Задание:

Выберите Неверное утверждение:

Варианты ответов:
1) CD ⊥ FB
2) ∠GED = 60°
3) GE ∥ QS
4) QS ⊥ ST

Решение:

CD ∈ DCG и CD ⊥ GC. При этом FB ∈ BCG и FB ∥ GC, следовательно, CD ⊥ FB.
△GED - равносторонний, следовательно, все углы в нем 60°.
GE ∈ HGF, QS ∈ DAB, при этом HGF и DAB – противоположные грани куба, а значит параллельны. Следовательно, линии, принадлежащие данным плоскостям, так же параллельны друг другу.
Рассмотрев сечение зеленной модели куба, легко убеждаемся, что угол между данными прямыми не равен 90°, то есть, они не перпендикулярны.

Ответ:

4) QS ⊥ ST

Задача № 3

Задание:

Найдите площадь боковых граней пирамиды, отсекаемой от куба сечением, проходящим через середины ребер с общей вершиной. Ребро куба равно 6 см.

Подсказка: при условии наличия собранной модели удобнее использовать формулу Пика.

Варианты ответов:

1) 13,5
2) 16
3) 3√2

Решение: 

У полученной пирамиды таких граней 3. Соответственно, ответ: 4,5⋅3=13,5.

Ответ:

1) 13,5

Задача № 4

Задание:

Во сколько раз периметр сечения, имеющего форму треугольника, проходящего через вершины куба, больше периметра сечения, ему параллельного, но проходящему через середины сторон данного куба.

Варианты ответов:

1) 2
2) 4
3) 1,5

Решение:

1. Рассмотрев собранную Вами модель зеленного цвета, а именно, его внешнюю разметку, выразите периметры необходимых сечений количеством диагоналей клеток.
Периметр большего сечения вмещает в себя 18 диагоналей, а периметр меньшего – 9. Таким образом, получаем отношение: 18:9=2
2. Воспользовавшись определение коэффициента подобия, получим ответ: периметр большего сечения в 2 раза больше периметра меньшего сечения.

Ответ:

1) в 2 раза

Задача № 5

Задание:

Точка J является серединой ребра EF куба ABCDEFGH, точка Q является серединой ребра CD. Найдите расстояние между этими точками. Ответ округлите до десятых.

Варианты ответов: 

1) 9
2) 7,6
3) 8,5

Решение:

1. Измерьте диагональ шестиугольного сечения зеленного куба.
2. Искомое расстояние является гипотенузой прямоугольного треугольника JQR,∠ R=90° и катетами JR=QR=6. По теореме Пифагора получаем:

Ответ:

3) 8,5

Задача № 6

Задание:

Сечение, имеющее форму треугольника, можно построить проходящего через вершины куба. Другое сечение, имеющую туже форму, можно построить через середины ребер с общей вершиной. Найдите угол между этими сечениями.

Варианты ответов: 

1) 90°
2) 45°
3) они не пересекаются

Решение:

1. Рассмотрев полученную зеленную модель куба, заметим, что данные сечения параллельны друг другу. Следовательно, они не пересекаются. (вставить модель куба)
2. Начертив данные сечения, заметим, что данные сечения параллельны друг другу. Следовательно, они не пересекаются.

Ответ:

3) они не пересекаются

Задача № 7

Сложность 5/5

Задание:

Площадь какого многоугольного сечения больше?

Варианты ответов:

1) у зеленой модели
2) у оранжевой модели

Решение:

1. Наложите два многоугольника друг на друга и оцените разницу визуально.

2. Для оранжевой модели:
Разделим пятиугольник на две фигуры, на треугольник и трапецию.

Выразив, получаем, что площадь пятиугольника равна:

Для зеленной модели куба – площадь сечения в форме правильного шестиугольника:
где n - число сторон
a – длина стороны
Таким образом:

Ответ:

у зеленой модели площадь сечения больше

38,9 см² (у зеленой модели) > 34,3 см² (у оранжевой модели)