Развитие пространственного воображения

0 руб.
0 товар(ов)

Сечения красного куба

сечения куба в форме пятиугольника и ромба

Здесь вы найдете математические задачи, для решения которых этот куб очень удобно использовать в качестве наглядного пособия.

В разделе "Тесты" - вы можете проверить себя и самостоятельно решить задачи на сечение куба плоскостью.

Задача № 1

Сложность 1/5

Задание:

Современный скульптор решил создать вазу для фруктов необычной формы. За основу выбрал куб. В качестве основания своей будущей вазы он выбрал многоугольник, получившийся после среза части куба. Скульптор решил сразу покрасить свой объект творения и начал как раз с этого основания. Но его отвлекли, и он в спешке поставил его на бумагу.

Вопрос:

Какой след оставит на бумаге выполненное скульптором сечение?

Решение:

Найдите на имеющемся кубе пятиугольное сечение. Посмотрите на его форму.

Ответ:

Сечение № 1

Задача № 2

Сложность 3/5

Задание:

Современный скульптор, с говорящим псевдонимом Diamond, решил так срезать часть куба, чтобы новая грань была похожа очертаниями на образ бриллианта.

Вопрос:

Как необходимо произвести сечение куба, чтобы в результате сечение имело форму следующего пятиугольника? (Обратите внимание на симметрию пятиугольника). В ответе укажите три точки, необходимые для построения плоскости сечения.

Варианты ответов:

1) D₁C₁ F₁
2) B₂G₂V₁
3) M₂K₂S₁
4) S₁Q₁H₂

Решение:

Рассмотрите пятиугольное сечение куба. Соотнесите указанные точки на чертеже .

Ответ: 1) D₁C₁ F₁

Чтобы получить такое сечение надо повернуть куб следующим образом. Далее делаем срез. Получаем в сечении пятиугольник, имеющий очертания бриллианта.

Задача № 3

Задача № 4

Сложность 1/5

Задание:

Точки A₁ и E₁ принадлежат рёбрам AB и BC куба ABFEDCGH и имеют следующие координаты: A₁ (1,0,0),E₁ (3,0,2). Точка К лежит на прямой A₁E₁. Какой плоскости принадлежит точка К?

Варианты ответов:

1) ABC
2) CGF
3) HGF

Решение:

1. Для визуального удлинения одной из сторон сечения можно воспользоваться методом приложения карандаша к уже имеющемуся изделию. Не забудьте, пожалуйста, верно сопоставить грани Вашей поделки с предлагаемым чертежом.

2. Можем воспользоваться Аксиомой о прямой, принадлежащей плоскости: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Точки A₁ и E₁ принадлежат рёбрам AB и BС, т.е. точки A₁ и E₁принадлежат грани ABC, следовательно и вся прямая принадлежит грани ABC, в частности и одна из ее точек K.

Ответ:

1) ABC

Задача № 5

Сложность 1/5

Задание:

Точки A₁ и E₁ делят рёбра AB и BC куба ABFEDCGH в отношении 1:3.

Вопрос:

По какой прямой пересекаются плоскости BE₁F и A₁BE₁ Варианты ответов:

1) BC
2) HE
3) AB

Решение:

1.Для визуального удлинения одной из сторон сечения можно воспользоваться методом приложения карандаша к уже имеющемуся изделию. Не забудьте, пожалуйста, верно сопоставить грани Вашей поделки с предлагаемым чертежом.

2. Можем воспользоваться Аксиомой о пересечении двух плоскостей: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Точки A₁ и E₁ делят рёбра AB и BC, т.е. точки A₁ и E₁ принадлежат грани ABC, Точки F и E₁ принадлежат рёбрам FB и BС, т.е. точки F и E₁ принадлежат грани FBC. Две грани, ABC и FBC имеют одну общую прямую BC.

Ответ:

1) BC

Задача № 6

Сложность 1/5

Задание:

Точки A₁ и E₁ делят рёбра AB и BC куба ABFEDCGH в отношении 1:3.

Вопрос:

По какой прямой пересекаются плоскости DCE₁ и A₁BF Варианты ответов:

1) BC
1) HE
1) AB

Решение:

2. Можем воспользоваться Аксиомой о пересечении двух плоскостей: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Точки A₁ и E₁ делят рёбра AB и BC, т.е. точки A₁ и E₁ принадлежат грани ABC, Точки F и A₁ принадлежат рёбрам FB и BA, т.е. точки F и E₁ принадлежат грани FBA. Две грани, ABC и FBA имеют одну общую прямую BA.

Ответ:

1) AB

Задача № 7

Сложность 2/5

Задание:

Через какие указанные точки можно провести единственную плоскость. Варианты ответов:

1) FM₂G
2) FZ₁E
3) AV₁G

Решение:

1. Можно рассмотреть сечение красного куба

2. Воспользовавшись Аксиомой: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна; заметим, что из предложенных вариантом лишь один, AV₁G, задает точки не принадлежащие одной прямой.