0 руб.
0 товар(ов)

Многогранники из ленты

многогранники наука и жизнь
Статья в журнале «Наука и Жизнь» рассказывает о достаточно необычном способе построения многогранников.

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 1 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.многогранники из ленты Аналогичным способом можно свернуть куб (рис. 2). Его грани также выстраиваются в цепочку, а чтобы изменить направление ленты для завершения формообразования, достаточно перегнуть ее по диагонали квадрата (задача на построение куба из ленты публиковалась в журнале «Наука и жизнь» № 10, 1972 г.).  

      

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения самых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдрамногогранники из лентыЭто объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков — иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Построение октаэдра и икосаэдра осуществляется на основе узора из правильных треугольников (рис. 3 и рис. 4). Свернув для октаэдра кольцо из шести, а для икосаэдра — из десяти треугольников, перегибаем ленту в обратную сторону и продолжаем сворачивать такие же кольца.

Узоры наших лент — это частный случай сетей симметрии Шубникова — Лавеса (см. рис. 5). Треугольные ячейки получаются наложением двух пар зеркальных гексагональных решеток, развернутых друг относительно друга на 90°, а квадратные — совмещением квадратных решеток под углом 45° друг к другу. С этих позиций процесс образования многогранников из фокуса превращается в теоретически обоснованное и закономерное явление.

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°.многогранники из лентыИз них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр — и целое семейство однородных многогранников (см. фото на обложке).

В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера «О шестиугольных снежинках» есть очень меткое замечание: «Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел. Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой...» Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе. многогранники из лентыПостроение простых многогранников не представляет особых затруднений. Но чтобы сложить из ленты сложные звездчатые формы, понадобятся специальные приспособления для удержания еще не соединенных между собой колец— скрепки, зажимы и тому подобное. Создание оригинальных по своей форме многогранников чрезвычайно занимательно самим процессом формообразования. Лента имеет лицо и оборот, которые попеременно или одновременно участвуют в построении граней тела; каждый перегиб позволяет вести формообразование в двух направлениях. Отсюда нетрудно представить целое семейство игр-головоломок на основе ленты. Например, сложить рисунок, узор, орнамент, фрагменты которого разбросаны по ленте в заданном порядке.

Способ построения многогранников из ленты, может статься, послужит человеку не только для развлечения. Ждет своего создателя метод получения объемных объектов путем намотки. Возможно, в недалеком будущем войдут в наш быт и оригинальные упаковки, и детали интерьера, и — кто знает! — оболочки космических аппаратов, созданные из обыкновенной ленты.многогранники из ленты

 «Наука и Жизнь» (1989 № 6 А.Черенков, В.Храмов)

Популярное

Изгибаемые многогранники

Может ли многогранник изгибаться? Наверное, это какая-то ошибка? А может это уже и не многогранник? Оказывается, существуют изгибаемые многогранники.

Многогранники на почтовых марках

Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники-филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка, посвященная Леонарду Эйлеру с...

Школьный проект

Во второй половине XIX века в школах США зародился новый способ обучения – метод проектов. Согласно этому подходу истинным и ценным...

Развертки тел вращения

Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон?  Одним лишь вращением мы можем...

Двойственные пары многогранников. Часть 2

Что общего между октаэдром и кубом?

Какой клей выбрать?

На первый взгляд может показаться, что выбор клея, задача совсем простая, тем более для бумаги (картона). Но, когда получаешь отзывы как от ребят, так...

Многогранники на фестивале науки

Фестиваль Увлекательной Науки состоится в Москве 24 и 25 апреля 2015 года на физфаке Московского педагогического университета (станция метро Спортивная).