Разрезание Дьюдени

razv dudeney1

Можно ли разрезать треугольник на такое количество частей, чтобы из них можно было сложить квадрат?

razv dudeney2 Утвердительный ответ на этот вопрос был дан еще в 1807 году. В более общем виде это звучало так: «Любые два многоугольника общей площади должны иметь общее разрезание». Это теорема Бойля –Гервина, доказанная в 1807. Если у нас есть треугольник и квадрат и мы знаем, что их площади одинаковы, разрезав треугольник на несколько многоугольников, мы можем как из мозаики сложить квадрат.
 

Но вот более сложный вопрос. А можно ли разрезать так, чтобы все части оставались соединенными в неразрывную цепочку?

dissection
Шарнирное разрезание или разрезания Дью-дени (по имени автора), выполненное в виде анимации, демонстрирует нам как треугольник преобразуется в квадрат, а затем в шестиугольник и обратно в треугольник (использован анимационный ролик из Wikipedia).
 
Изначально задача о разрезании треугольника была предложена Генри Дьюдени в виде головоломки и опубликована в газете «Дейли мейл» (выпуски от 1 и 8 февраля 1905 г.). Позже эта головоломка вошла в книгу «Кентерберийские головоломки» и по сей день входит в сотню лучших головоломок «всех времен».
В переведенном издании (Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки / Перевод с английского Ю. Н. Сударева. — М.: Мир, 1979. — С. 46—47.) исходный текст звучит следующим образом:
 
razv dudeney3 «Много попыток было предпринято, чтобы побудить Галантерейщика предложить компании какую-нибудь головоломку, но они долго оставались безуспешными. Наконец, на одной из стоянок Галантерейщик сказал, что покажет всем нечто, отчего «их мозги перекрутятся, как веревка от колокола». Кстати, он сыграл с компанией шутку, ибо сам не знал ответа на головоломку, которую предложил. Достав кусок материи в форме правильного равностороннего треугольника, он сказал:
— Есть ли среди вас кто-нибудь, кому приходилось бы раскраивать материю? Побожусь, что нет. Каждый умеет что-то свое, и школяр может чему-нибудь поучиться у простолюдина, а мудрец у дурака. Покажите мне, если умеете, каким образом этот кусок материи можно разрезать на четыре части так, чтобы потом из них удалось составить правильный квадрат.
Некоторые из наиболее образованных паломников сумели сделать это с пятью частями, но не с четырьмя. Но когда они насели на Галантерейщика, требуя от него правильного ответа, он после долгих увиливаний признался, что не умеет решать эту задачу ни для какого числа частей.
— Клянусь святым Франциском, — сказал он, — каждый мошенник, думается мне, может придумать головоломку, но она хороша для тех, кто умеет ее решать.
После этих слов он едва унес ноги».

Решение задачи.
На рисунках показано, каким образом треугольный кусок материи можно разрезать на 4 части, из которых затем удается сложить правильный квадрат.
razv dudeney4 1. Разделим AB пополам в точке D
2.  ВС разделим пополам в точке Е.
3. Продолжим прямую АЕ.
razv dudeney5 4. Строим дугу из точки E, радиусом EB. На пересечении с прямой АЕ получаем точку F.
5. Разделим пополам AF в точке G.
6. Проведем дугу AF с центром в точке G.
7. Продолжим ЕВ до пересечения с дугой в точке Н.
razv dudeney6
razv dudeney6 18. Из Е как из центра радиусом ЕН опишем дугу HJ.
 
После этой операции нам удалось получить первый разрез треугольника - отрезок EJ.
razv dudeney7
 
razv dudeney7 19. Отложим отрезок JK, равный BE.
10. Из точки D опустим перпендикуляр на EJ с основанием в точке L.
11. Из точки К опустим перпендикуляр на EJ с основанием в точке М.
 
Получаем отрезки, вдоль которых следует провести разрезы.
 
Автор задачи – английский математик Генри Эрнест Дью-дени (1857 - 1930 гг.) известен как один из выдающихся создателей математических головоломок. razv dudeney8
razv dudeney9
Выступая с этой задачей, поставленной в более общей форме, перед Королевским обществом в Берлингтон-Хауз, а также в Королевском институте, добавил еще один рисунок, на котором решение задачи показано в более любопытной и удобной для практики форме. Все части модели можно сделать из красного дерева, скрепив их бронзовыми шарнирами, дабы ее удобно было показывать в аудитории. Легко заметить, что все четыре части образуют нечто вроде цепочки. Если закрутить эту цепочку в одном направлении, то получится треугольник, а если ее закрутить в противоположную сторону, то получится квадрат.
 
Сейчас такое разбиение треугольника так и называется - "Разрезание Дьюдени" в честь автора или "шарнирное разрезание", так как в узлах соединения многоугольников должны находиться шарниры, позволяющие легко крутиться конструкции и переходить из треугольника в квадрат и обратно.
 
Изготовить такую занимательную головоломку, позволяющую преобразовать правильный треугольник в квадрат неразрывной цепочкой многоугольников, можно самостоятельно из бумаги. Но, чтобы сделать её подвижной, необходимо, чтобы это была не плоская, а объемная конструкция. Поэтому каждый из многоугольников получает высоту и преобразуется в призму.

Мы предлагаем Вам скачать развертки деталей в виде 4-й призм.
Для каждого «кусочка» головоломки мы склеиваем отдельную призму, а затем соединяем отдельные призмы между собой в виде шарниров.
 
razv dudeney10 razv dudeney11 razv dudeney12
Развертка часть 1 Развертка часть 2 Развертка часть 3
 
 
Схема сборки:
1. razv dudeney13 2. razv dudeney14 3. razv dudeney15
4. razv dudeney16 5. razv dudeney17 6. razv dudeney18
7. razv dudeney19 8. razv dudeney20 9. razv dudeney21
10.razv dudeney22 11.razv dudeney23 12.razv dudeney24
 
Кроме "классического" разрезания треугольника, можно также изготовить другие, весьма привлекательные шарнирные разрезания геометрических фигур.
 
1. Шарнирное разрезание квадрата, позволяющее преобразовать его в правильный шестиугольник.
Задача звучит следующим образом: как разрезать квадрат, чтобы из его частей можно было собрать правильный шестиугольник?
razv dudeney26 razv dudeney27 razv dudeney28
 
2. Шарнирное разрезание правильного шестиугольника, позволяющее преобразовать его в треугольник.
Задача звучит следующим образом: как правильный шестиугольник, чтобы из его частей можно было собрать треугольник?
razv dudeney29 razv dudeney30 razv dudeney31
 
3. Шарнирное разрезание креста, образованного пятью квадратами, и позволяющее преобразовать его в единый квадрат.
Задача звучит следующим образом: как разрезать крест, образованный пятью квадратами, чтобы из его частей можно было собрать единый квадрат?
razv dudeney32 razv dudeney33 razv dudeney34
 
 
 
Канадский дизайнер Эммануэль Пелючон (Emmanuel Peluchon), повторил головоломку Дьюдени изготовив её из дерева и поместив внутри часы:
razv dudeney35 razv dudeney36 razv dudeney37
Конструкция выполнена из деревянных призм, аккуратно скрепленных обычными петлями.
Стоимость такой дизайнерской головоломки 380 канадских долларов. Канада – дорогая страна :-) 
 
 
razv dudeney38
На картинке представлены все головоломки, иллюстрирующие шарнирное разрезание, собранные из предложенных разверток.
 
© mnogogranniki.ru  01/09/2017