Развитие пространственного воображения

0 руб.
0 товар(ов)

Платоновы тела. Платоновы многогранники

Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела.

Сначала разберемся, что же это за пять геометрических предметов или, в терминологии математиков, геометрических тел.

тетраэдр

октаэдр

куб

додекаэдр

икосаэдр

Почему эти пять геометрических тел, прежде всего, называют - правильные многогранники?

Это весьма легко запомнить. Стороны правильных многогранников являются правильными многоугольниками. А правильные многоугольники это те у которых, в свою очередь, равны все стороны (например: треугольник, квадрат) и равны углы между соседними сторонами. Причина возникновения слова правильные именно в этом.

Какова связь с Платоном?

Вероятнее всего Древнегреческий ученый Платон не имеет отношения к открытию этих замечательных многогранников.

Но у Платона был другой дар. В современном мире можно было бы назвать Платона популяризатором правильных многогранников. Наибольший вклад Платон сделал именно в том, что рассказал людям о существовании таких предметов как правильные многогранники.

И, возможно, если бы просто рассказал, то большинство бы быстро забыло о них. Платон же наделил эти, казалось бы, простые предметы невероятной силой, мистическим смыслом и возвел на вершину своего учения.

В попытке объяснить природу всего сущего Платон посчитал пять правильных многогранников первоосновами для строения каждой из стихий:

- огонь - соотносился с тетраэдром;
- воздух – соотносился с октаэдром;
- земля – соотносилась с гексаэдром;
- вода – с икосаэдром;
- а додекаэдр - соответствовал Вселенной.

Летописцы тех времен всё подробно записали и, в результате, получился целый научный трактат, как для современников Платона, так и для всех последующих поколений.

Именно сила философии Платона и мистические постулаты закрепились в умах обычных людей. И что же дальше? А дальше люди уже неразрывно связывают эти многогранниками с идеями Платона. И, в какой то момент, так и говорят об пяти правильных многогранниках, как о многогранниках Платона.

Какое название лежит в основе

Обратите внимание на тот, факт что в названии любого многогранника есть слово-основа.

Название	Слово-основа
тетраэдр	тетра - четыре (лат.)
октаэдр	окта - восемь (лат.)
гексаэдр или куб	гекса - шесть (лат.)
додекаэдр	додека - двенадцать (лат.)
икосаэдр	икоси - двадцать (лат.)

Из каких геометрических фигур можно составить

Все многогранники Платона можно представить в виде комбинации правильных многоугольников

1. Тетраэдр: 4 треугольника

= 4

2. Октаэдр: 8 треугольников

= 8

3. Гексаэдр (привычное название куб): 6 правильных четырехугольников

= 6

4. Додекаэдр: 12 пятиугольников

= 12

5. Икосаэдр: 20 треугольников

= 20

Свойства Платоновых тел

Двугранный угол тетраэдра.

Две смежные грани тетраэдра стыкуются друг с другом под углом 70,53°.

В одной вершине тетраэдра сходятся три треугольные грани. Трёхмерный угол между тремя гранями (телесный угол тетраэдра при вершине) Ω = 0,55.

Двугранный угол октаэдра.

Две смежные грани октаэдра стыкуются друг с другом под углом 109,47°.

В одной вершине октаэдра сходятся четыре треугольные грани. Трёхмерный угол между четырьмя гранями (телесный угол октаэдра при вершине) Ω = 1,36.

Двугранный угол куба.

Две смежные грани куба стыкуются друг с другом под углом 90°.

В одной вершине куба сходятся три четырёхугольные грани. Трёхмерный угол между тремя гранями (телесный угол куба при вершине) Ω = 1,57.

Двугранный угол икосаэдра.

Две смежные грани икосаэдра стыкуются друг с другом под углом 138,19°.

В одной вершине икосаэдра сходятся пять треугольных граней. Трёхмерный угол между пятью гранями (телесный угол икосаэдра при вершине) Ω = 2,63.

Двугранный угол додекаэдра.

Две смежные грани додекаэдра стыкуются друг с другом под углом 116,57°.

В одной вершине додекаэдра сходятся три пятиугольные грани. Трёхмерный угол между тремя гранями (телесный угол додекаэдра при вершине) Ω = 2,96.

Площадь поверхности, объем, радиус вписанной и описанной сферы можно узнать здесь.

Размеры многогранников

Чтобы создать коллекцию многогранников, нам будет необходимо придерживаться определенных условий, так размеры будут сопоставимы и модели можно легко сравнить друг с другом.

Один из возможных вариантов, это создавать модели, вписываемые в сферу заданных размеров.

соотношение размеров многоугольников сторон

Стороны многоугольников для этого должны иметь следующие пропорции:

Вот как будут выглядеть в этом случае все 5 правильных многогранников.

Здесь вы можете скачать развертки для создания всех пяти Платоновых тел с размерами, позволяющими поместить каждое геометрическое тело внутрь сферы диаметром 100 мм:

- скачать развертку тетраэдра;

- скачать развертку октаэдра;

- скачать развертку додекаэдра;

- скачать развертку икосаэдра;

- скачать развертку куба (гексаэдра).

Грани платоновых тел с единой длиной стороны

Другой вариант, это задать единую длину стороны для всех многоугольников, из которых будет собрана модель. Вот каковы пропорции многоугольников, имеющих единую длину стороны:

- треугольник;

- квадрат;

- пятиугольник.

А вот как будет выглядеть коллекция многогранников - Платоновых тел, собранная из многоугольников с единой длиной стороны:

Здесь вы можете скачать развертки для создания всех пяти Платоновых тел с размерами, позволяющими построить каждое геометрическое тело с длиной стороны 50 мм:

- скачать развертку октаэдра;

- скачать развертку додекаэдра (требуется два одинаковых листа!);

- скачать развертку куба (гексаэдра);

- скачать развертку икосаэдра;

- скачать развертку тетраэдра.

Готовый набор для сборки

Вы можете изготовить все пять моделей Платоновых тел воспользовавшись деталями для сборки из набора "Волшебные грани".

Для удобства сборки все модели имеют рёберную конструкцию, что позволяет собрать их даже начинающему "математику".

Размеры подобраны так, что любой из многогранников может быть вписан в сферу диаметром 110 мм.

Вращение всех правильных многогранников

Сборка многогранников их набора

Платоновы тела. Платоновы многогранники

Почему эти пять геометрических тел, прежде всего, называют - правильные многогранники?

Какое название лежит в основе

Популярное