Развитие пространственного воображения

0 руб.
0 товар(ов)

Платоновы тела. Платоновы многогранники

Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, мы чаще всего в обычной речи называем - Платоновы тела.

Сначала разберемся, что же это за пять геометрических предметов или, в терминологии математиков, геометрических тел.

тетраэдр

октаэдр

куб

додекаэдр

икосаэдр

Почему эти пять геометрических тел, прежде всего, называют - правильные многогранники?

Это весьма легко запомнить. Стороны правильных многогранников являются правильными многоугольниками. А правильные многоугольники это те у которых, в свою очередь, равны все стороны (например: треугольник, квадрат) и равны углы между соседними сторонами. Причина возникновения слова правильные именно в этом.

Какова связь с Платоном?

Вероятнее всего Древнегреческий ученый Платон не имеет отношения к открытию этих замечательных многогранников.

Но у Платона был другой дар. В современном мире можно было бы назвать Платона популяризатором правильных многогранников. Наибольший вклад Платон сделал именно в том, что рассказал людям о существовании таких предметов как правильные многогранники.

И, возможно, если бы просто рассказал, то большинство бы быстро забыло о них. Платон же наделил эти, казалось бы, простые предметы невероятной силой, мистическим смыслом и возвел на вершину своего учения.

В попытке объяснить природу всего сущего Платон посчитал пять правильных многогранников первоосновами для строения каждой из стихий:

- огонь - соотносился с тетраэдром;
- воздух – соотносился с октаэдром;
- земля – соотносилась с гексаэдром;
- вода – с икосаэдром;
- а додекаэдр - соответствовал Вселенной.

Летописцы тех времен всё подробно записали и, в результате, получился целый научный трактат, как для современников Платона, так и для всех последующих поколений.

Именно сила философии Платона и мистические постулаты закрепились в умах обычных людей. И что же дальше? А дальше люди уже неразрывно связывают эти многогранниками с идеями Платона. И, в какой то момент, так и говорят об пяти правильных многогранниках, как о многогранниках Платона.

Какое название лежит в основе

Обратите внимание на тот, факт что в названии любого многогранника есть слово-основа.

Название	Слово-основа
тетраэдр	тетра - четыре (лат.)
октаэдр	окта - восемь (лат.)
гексаэдр или куб	гекса - шесть (лат.)
додекаэдр	додека - двенадцать (лат.)
икосаэдр	икоси - двадцать (лат.)

Из каких геометрических фигур можно составить

Все многогранники Платона можно представить в виде комбинации правильных многоугольников

1. Тетраэдр: 4 треугольника

= 4

2. Октаэдр: 8 треугольников

= 8

3. Гексаэдр (привычное название куб): 6 правильных четырехугольников

= 6

4. Додекаэдр: 12 пятиугольников

= 12

5. Икосаэдр: 20 треугольников

= 20

Свойства Платоновых тел

Двугранный угол тетраэдра.

Две смежные грани тетраэдра стыкуются друг с другом под углом 70,53°.

В одной вершине тетраэдра сходятся три треугольные грани. Трёхмерный угол между тремя гранями (телесный угол тетраэдра при вершине) Ω = 0,55.

Двугранный угол октаэдра.

Две смежные грани октаэдра стыкуются друг с другом под углом 109,47°.

В одной вершине октаэдра сходятся четыре треугольные грани. Трёхмерный угол между четырьмя гранями (телесный угол октаэдра при вершине) Ω = 1,36.

Двугранный угол куба.

Две смежные грани куба стыкуются друг с другом под углом 90°.

В одной вершине куба сходятся три четырёхугольные грани. Трёхмерный угол между тремя гранями (телесный угол куба при вершине) Ω = 1,57.

Двугранный угол икосаэдра.

Две смежные грани икосаэдра стыкуются друг с другом под углом 138,19°.

В одной вершине икосаэдра сходятся пять треугольных граней. Трёхмерный угол между пятью гранями (телесный угол икосаэдра при вершине) Ω = 2,63.

Двугранный угол додекаэдра.

Две смежные грани додекаэдра стыкуются друг с другом под углом 116,57°.

В одной вершине додекаэдра сходятся три пятиугольные грани. Трёхмерный угол между тремя гранями (телесный угол додекаэдра при вершине) Ω = 2,96.

Площадь поверхности, объем, радиус вписанной и описанной сферы можно узнать здесь.

Размеры многогранников

Чтобы создать коллекцию многогранников, нам будет необходимо придерживаться определенных условий, так размеры будут сопоставимы и модели можно легко сравнить друг с другом.

Один из возможных вариантов, это создавать модели, вписываемые в сферу заданных размеров.

соотношение размеров многоугольников сторон

Стороны многоугольников для этого должны иметь следующие пропорции:

Вот как будут выглядеть в этом случае все 5 правильных многогранников.

Здесь вы можете скачать развертки для создания всех пяти Платоновых тел с размерами, позволяющими поместить каждое геометрическое тело внутрь сферы диаметром 100 мм:

- скачать развертку тетраэдра;

- скачать развертку октаэдра;

- скачать развертку додекаэдра;

- скачать развертку икосаэдра;

- скачать развертку куба (гексаэдра).

Грани платоновых тел с единой длиной стороны

Другой вариант, это задать единую длину стороны для всех многоугольников, из которых будет собрана модель. Вот каковы пропорции многоугольников, имеющих единую длину стороны:

- треугольник;

- квадрат;

- пятиугольник.

А вот как будет выглядеть коллекция многогранников - Платоновых тел, собранная из многоугольников с единой длиной стороны:

Здесь вы можете скачать развертки для создания всех пяти Платоновых тел с размерами, позволяющими построить каждое геометрическое тело с длиной стороны 50 мм: