0 руб.
0 товар(ов)

Разрезание Дьюдени

превратить треугольник в квадрат

Можно ли разрезать треугольник на такое количество частей, чтобы из них можно было сложить квадрат?

 

превратить треугольник в квадрат разрезание дьюдени

Утвердительный ответ на этот вопрос был дан еще в 1807 году. В более общем виде это звучало так: «Любые два многоугольника общей площади должны иметь общее разрезание». Это теорема Бойля –Гервина, доказанная в 1807. Если у нас есть треугольник и квадрат и мы знаем, что их площади одинаковы, разрезав треугольник на несколько многоугольников, мы можем как из мозаики сложить квадрат.  

Но вот более сложный вопрос. А можно ли разрезать так, чтобы все части оставались соединенными в неразрывную цепочку?

превратить треугольник в квадрат разрезание дьюдениШарнирное разрезание или разрезания Дью-дени (по имени автора), выполненное в виде анимации, демонстрирует нам как треугольник преобразуется в квадрат, а затем в шестиугольник и обратно в треугольник (использован анимационный ролик из Wikipedia). 

 
Изначально задача о разрезании треугольника была предложена Генри Дьюдени в виде головоломки и опубликована в газете «Дейли мейл» (выпуски от 1 и 8 февраля 1905 г.). Позже эта головоломка вошла в книгу «Кентерберийские головоломки» и по сей день входит в сотню лучших головоломок «всех времен». 
В переведенном издании (Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки / Перевод с английского Ю. Н. Сударева. — М.: Мир, 1979. — С. 46—47.) исходный текст звучит следующим образом:
 
 
задача галантерейщика«Мно
го попыток было предпринято, чтобы побудить Галантерейщика предложить компании какую-нибудь головоломку, но они долго оставались безуспешными. Наконец, на одной из стоянок Галантерейщик сказал, что покажет всем нечто, отчего «их мозги перекрутятся, как веревка от колокола». Кстати, он сыграл с компанией шутку, ибо сам не знал ответа на головоломку, которую предложил. Достав кусок материи в форме правильного равностороннего треугольника, он сказал:
— Есть ли среди вас кто-нибудь, кому приходилось бы раскраивать материю? Побожусь, что нет. Каждый умеет что-то свое, и школяр может чему-нибудь поучиться у простолюдина, а мудрец у дурака. Покажите мне, если умеете, каким образом этот кусок материи можно разрезать на четыре части так, чтобы потом из них удалось составить правильный квадрат.
Некоторые из наиболее образованных паломников сумели сделать это с пятью частями, но не с четырьмя. Но когда они насели на Галантерейщика, требуя от него правильного ответа, он после долгих увиливаний признался, что не умеет решать эту задачу ни для какого числа частей.
— Клянусь святым Франциском, — сказал он, — каждый мошенник, думается мне, может придумать головоломку, но она хороша для тех, кто умеет ее решать.
После этих слов он едва унес ноги».
 
Решение задачи. 
На рисунках показано, каким образом треугольный кусок материи можно разрезать на 4 части, из которых затем удается сложить правильный квадрат.
 
1. Разделим AB пополам в точке D
2.  ВС разделим пополам в точке Е.
 
разрезание треугольника задача дьюдени
 
4. Строим дугу из точки E, радиусом EB. На пересечении с прямой АЕ получаем точку F.
5. Разделим пополам AF в точке G.
6. Проведем дугу AF с центром в точке G.
7. Продолжим ЕВ до пересечения с дугой в точке Н.
разрезание треугольника задача дьюдени
 
8. Из Е как из центра радиусом ЕН опишем дугу HJ.
разрезание треугольника задача дьюдени
 
После этой операции нам удалось получить первый разрез треугольника - отрезок EJ.
разрезание треугольника задача дьюдени
 

9. Отложим отрезок JK, равный BE.

10. Из точки D опустим перпендикуляр на EJ с основанием в точке L.

11. Из точки К опустим перпендикуляр на EJ с основанием в точке М.

разрезание треугольника задача дьюдени
Получаем отрезки, вдоль которых следует провести разрезы.
разрезание треугольника задача дьюдени
 

 
английский математик Генри Эрнест Дью-дени
Автор задачи – английский математик Генри Эрнест Дью-дени (1857 - 1930 гг.) известен как один из выдающихся создателей математических головоломок. 
 
Выступая с этой задачей, поставленной в более общей форме, перед Королевским обществом в Берлингтон-Хауз, а также в Королевском институте, добавил еще один рисунок, на котором решение задачи показано в более любопытной и удобной для практики форме. Все части модели можно сделать из красного дерева, скрепив их бронзовыми шарнирами, дабы ее удобно было показывать в аудитории. Легко заметить, что все четыре части образуют нечто вроде цепочки. Если закрутить эту цепочку в одном направлении, то получится треугольник, а если ее закрутить в противоположную сторону, то получится квадрат.
 
Сейчас такое разбиение треугольника так и называется - "Разрезание Дьюдени" в честь автора или "шарнирное разрезание", так как в узлах соединения многоугольников должны находиться шарниры, позволяющие легко крутиться конструкции и переходить из треугольника в квадрат и обратно. 
задача дудени
  
 
Изготовить такую занимательную головоломку, позволяющую преобразовать правильный треугольник в квадрат неразрывной цепочкой многоугольников, можно самостоятельно из бумаги. Но, чтобы сделать её подвижной, необходимо, чтобы это была не плоская, а объемная конструкция. Поэтому каждый из многоугольников получает высоту и преобразуется в призму.
Мы предлагаем Вам скачать развертки деталей в виде 4-й призм.
Для каждого «кусочка» головоломки мы склеиваем отдельную призму, а затем соединяем отдельные призмы между собой в виде шарниров.
 
 
Схема сборки:
1.  сборка деталей задачи дьюдени
2.  сборка деталей задачи дьюдени
3.  сборка деталей задачи дьюдени
 
4.  сборка деталей задачи дьюдени
5.  сборка деталей задачи дьюдени
6.  сборка деталей задачи дьюдени
 
7.  сборка деталей задачи дьюдени
8.  сборка деталей задачи дьюдени
9.  сборка деталей задачи дьюдени
 
10.сборка деталей задачи дьюдени
11.сборка деталей задачи дьюдени
12.сборка деталей задачи дьюдени
 
 
Кроме "классического" разрезания треугольника, можно также изготовить другие, весьма привлекательные шарнирные разрезания геометрических фигур.
 
1. Шарнирное разрезание квадрата, позволяющее преобразовать его в правильный шестиугольник.
Задача звучит следующим образом: как разрезать квадрат, чтобы из его частей можно было собрать правильный шестиугольник?
шарнирное разрезание квадрата
шарнирное разрезание квадрата
шарнирное разрезание шестиугольника
 
 
2. Шарнирное разрезание правильного шестиугольника, позволяющее преобразовать его в треугольник.
Задача звучит следующим образом: как правильный шестиугольник, чтобы из его частей можно было собрать треугольник?
шарнирное разрезание шестиугольника
шарнирное разрезание шестиугольника
шарнирное разрезание треугольника
 
 
3. Шарнирное разрезание креста, образованного пятью квадратами, и позволяющее преобразовать его в единый квадрат.
Задача звучит следующим образом: как разрезать крест, образованный пятью квадратами, чтобы из его частей можно было собрать единый квадрат?
шарнирное разрезание креста
шарнирное разрезание креста
шарнирное разрезание креста
 
 
 
 
Канадский дизайнер Эммануэль Пелючон (Emmanuel Peluchon), повторил головоломку Дьюдени изготовив её из дерева и поместив внутри часы:
шарнирное разрезание дьюдени коллекционные часышарнирное разрезание дьюдени коллекционные часышарнирное разрезание дьюдени коллекционные часы
 
Конструкция выполнена из деревянных призм, аккуратно скрепленных обычными петлями.
Стоимость такой дизайнерской головоломки 380 канадских долларов. Канада – дорогая страна :-) 
 
 
шарнирное разрезание модели
На картинке представлены все головоломки, иллюстрирующие шарнирное разрезание, собранные из предложенных разверток.

Популярное

Естественные многогранники. Часть 2

В микро-мире многогранники встречаются в виде молекул, вирусов и бактерий - простейших организмов. Например: фуллерены – шарообразные молекулы углерода С60 (рис.) - "кирпичики"...

Многогранники в архитектуре. Часть 2

Визитная карточка Республики Беларусь - новое здание Национальной библиотеки в Минске. Проект нового здания был разработан еще в конце 80-х годов прошлого века и в 1989...

Развертки тел вращения

Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон?  Одним лишь вращением мы можем...

Как собирать многогранники без клея?

До сих пор мы активно применяли для сборки многогранников из наборов «Волшебные грани» клей. Более того, настоятельно рекомендовали применять именно клей Супер-ПВА. Есть ли...

Заметка об Архимеде - древнегреческом ученом

АРХИМЕД (287 - 212 до н.э.) - древнегреческий математик, физик и механик. Архимед - автор многочисленных открытий и...

Какой клей выбрать?

На первый взгляд может показаться, что выбор клея, задача совсем простая, тем более для бумаги (картона). Но, когда получаешь отзывы как от ребят, так...

Многогранники на почтовых марках

Почтовые марки охватывают все значимые события в мире. Не обошли вниманием художники-филателисты и изображения многогранников. Почтовая марка посвященная Леонарду Эйлеру с...