соединение двух тетраэдров

Звёздчатый октаэдр (или соединение двух тетраэдров)

Представленное изображение данного многогранника иллюстрирует именно второе его название - соединение двух тетраэдров. Так Вы можете представить себе тетраэдр красного цвета направленный вверх сквозь который проходит бежевый тетраэдр направленный вниз.

Однако математики предпочитают именовать многогранник звёздчатым октаэдром.

Звёздчатый октаэдр можно было бы признать правильным многогранником, так как все его грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны. Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником на равне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них.

 
 
 
 

История открытия


Звёздчатый октаэдр был впервые изображен в 1509 г. в книге De divina proportione («О божественных пропорциях»). Автором которой являлся математик Лука Пачоли (1445-1514 гг.). А иллюстрация для книги принадлежит руке Леонардо да Винчи.
Звёздчатый октаэдр был выполнен в виде восьми каркасных тетраэдров соединенных между собой.
 
Затем, спустя почти 100 лет многогранник был  переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная.
 
Именно такая иллюстрация звёздчатого октаэдра вызывает споры о том, каким образом был открыт  этот многогранник.
звёздчатый октаэдр Лернардо да Винчи
создание звездчатого октаэдра 1-й возможный вариант это к сторонам октаэдра присоединить 8 тетраэдров
 
Или продолжить плоскости параллельные сторонам октаэдра, получив на пересечении плоскостей те же самые 8 тетраэдров.  Иными словами, создать звездчатую форму октаэдра.
рождение звездчатого октаэдра
 
 
Второй путь: Объединить между собой два тетраэдра.
Что наглядно иллюстрирует окраска граней в два цвета – красный и бежевый.
объединение двух тетраэдров  
 

 

Видео. Вращение многогранника

Видео-ролик преобразования

Видео от наших партнеров – команда  ART KOSEKOMA, наглядно демонстрирует, как можно преобразовать октаэдр в звездчатую форму и получить два тетраэдра.

 

Сначала грани октаэдра, вытягиваясь, образуют звёздчатую форму. Затем видео-ролик показывает, как звёздчатый октаэдр можно разложить на два тетраэдра.

 

Свойства многогранника

1. Многогранник является единственной звёздчатой формой октаэдра.

звездчатый октаэдр вписан в куб
2. Интересная особенность многогранника. Если соединить между собой все остроконечные вершины, то линии пересечения точно соответствуют ребрам куба. 
Таким образом, звёздчатый октаэдр может быть вписан в куб.

тень звездчатого октаэдра

3. Если посмотреть на многогранник сверху, либо на отбрасываемую тень, то контуры рисунка будут создавать правильную шестиугольную звезду.
Шестиугольная звезда в виде двух перекрещивающихся треугольников это древнейший символ, который именуется как Звезда Давида (еще одно название - Печать царя Соломона).
звездчатый октаэдр и звезда давида

Развертка 1

развертка соединения двух тетраэдров
Первый из предлагаемых вариантов сборки – это склеить звёздчатый октаэдр из единой развертки. Такой вариант наиболее часто можно встретить в учебной литературе. Однако, ограничением является размер листа. В том случае если это лист формата А4, то размеры готового многогранника весьма скромные.
 

Развертка 2

Второй вариант, когда отдельно собираются октаэдр и 8 заготовок в виде пирамид. Затем к сторонам октаэдра поочередно приклеиваются все заготовки. Данный вариант более предпочтителен для начинающих моделистов.

развертка соединения двух тетраэдров

развертка соединения двух тетраэдров

развертка соединения двух тетраэдров

Скачать 1 Скачать 2 Скачать 3

Развертка 3

развертка звездчатого тетраэдра
На страницах интернета нам встретился весьма необычный вариант сборки, так же в виде единой развертки.
 
 

 

Ромбо-усечённый-икосо-додекаэдр

Ромбо-усечённый-икосо-додекаэдр

АрхимедРомбо-усечённый икосо-додекаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр- полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками трех типов - десятиугольник, шестиугольник и треугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

 

Как образован многогранник

преобразование додекаэдра
преобразование стороны додекаэдраНа первом этапе додекаэдр за счет срезания 12 вершин преобразуется в икосо-додекаэдр.
Исходная сторона додекаэдра сохраняет свою пятиугольную форму, но теряет в площади.
 
 
 
 
 
преобразование додекаэдра
преобразование грани додекаэдраНа втором этапе срезание 30 вершин икосо-додекаэдра, или ромбо-усечение приводит к образованию нового геометрического тела – ромбо-усеченного икосо-додекаэдра.
Сторона исходного додекаэдра помимо предыдущего преобразования теряет углы и превращается в 10-ти угольник.

 

 

Детали многогранника

Для построения модели потребуются следующие детали:
- 12 шт. десятиугольников
- 20 шт. шестиугольников
- 30 шт. квадратов
Вы можете самостоятельно изготовить модель многогранника, как используя стандартные геометрические фигуры, так и скачав листы с фигурами - цветная развертка. Для этого Вам потребуются 3 листа формата А4

развертка ромбоусеченного икосододекаэдра

Видео. Сборка многогранника

 

Видео.

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

 

13-я звездчатая форма икосо-додекаэдраСоединение пяти тетраэдровМалый икосо-икосо-додекаэдрБольшой икосаэдрБольшой кубо-кубо-октаэдрМалый кубо-кубо-октаэдр14-я заёздчатая форма икосаэдраБольшой додекаэдрМалый звёздчатый додекаэдрМалый икосо-геми-додекаэдрДодека-додекаэдрБольшой звёздчатый додекаэдрУсечённый большой икосаэдрсоединение куба и октаэдраПлосконосый додекаэдрПятая звёздчатая форма икосаэдраШестая звёздчатая форма икосаэдраПервая звёздчатая форма икосаэдраСедьмая звездчатая форма икосаэдраДевятая звездчатая форма икосаэдраБольшой битригональный икосо-додекаэдр14-я звёздчатая форма икосо-додекаэдра15-я звёздчатая форма икосо-додекаэдраШестнадцатая звездчатая форма икосо-додекаэдраБольшой додеко-икосо-додекаэдрСоединение пяти октаэдровДесятая звездчатая форма икосо-додекаэдраромбо-усечённый кубо-октаэдрРомбо-усеченный-икосо-додекаэдрИкосо-додекаэдрПлосконосый кубУсечённый икосододекаэдрЗвёздчатый октаэдрромбо-кубо-октаэдрУсечённый икосаэдрУсечённый додекаэдрУсечённый гексаэдрУсечённый октаэдрУсечённый тетраэдрКубо-октаэдрИкосаэдрДодекаэдрГексаэдрОктаэдрТетраэдрправильные пирамидыправильные усечённые пирамидыпараллелепипедправильные призмы

Усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр

Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра.

АрхимедУсечённый икосаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Усечённый икосаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками двух типов - шестиугольник и пятиугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

усечённый икосаэдрмногогранник футбольный мячфутбольный мяч

Главной особенностью этого многогранника является то, что его форма послужила основой для  изготовления футбольного мяча. Это становится очевидным, после того как применить черно-белый вариант окраски граней.

 

Видео. Процесс преобразования икосаэдра в усечённый икосаэдр

Усечение всех 12-ти вершин икосаэдра приводит к образованию усечённого икосаэдра. Треугольные грани исходного многогранника теряют в площади и преобразуются в шестиугольные грани. 

 

Видео. Сборка многогранника

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

Развертка

На рисунке представлена развертка усечённого икосаэдра:

развёртка усеченного икосаэдра

В данном случае мы не стали объединять все детали в единую развертку, так как если распечатать ее на одном листе формата А4, то конечный масштаб собранной фигуры будет весьма мал.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на двух листах формата А4. Обратите внимание, что листы одинаковые!

Развертка выполнена в цветах соответствующих классической раскраске футбольного мяча.

Скачать развертку.

 

 

Усечённый додекаэдр

Усечённый додекаэдр

Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин додекаэдра.

АрхимедУсечённый додекаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Усечённый икосаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками двух типов - десятиугольник и треугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

Видео. Процесс преобразования додекаэдра в усечённый додекаэдр

Усечение всех 20-ти вершин додекаэдра приводит к образованию усечённого додекаэдра. Пятиугольные грани исходного многогранника теряют в площади и преобразуются в десятиугольные грани.

 

Видео. Сборка многогранника

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

Развертка

На рисунке представлена развертка усечённого додекаэдра:

развертка усеченного додекаэдра

В данном случае мы не стали объединять все детали в единую развертку, так как если распечатать ее на одном листе формата А4, то конечный масштаб собранной фигуры будет весьма мал.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на двух листах формата А4. Обратите внимание, что листы одинаковые!

- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка

- если Вы предполагаете использовать цветной картон: скачать развертку


 
Малый икосо-геми-додекаэдр

Малый икосо-геми-додекаэдр

Малый икосо-геми-додекаэдр имеет следующие характеристики:

  • Грани: – 20 треугольников  и – 12 усеченных пятигранных пирамид

 

*описание многогранника на страницах набора "Волшебные грани"

Видео. Вращение многогранника

 

Видео. Сборка многогранника из набора

 

Заказать набор для сборки

Заказать набор на нашем сайте mnogogranniki.ru

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 

 

 

Большой додекаэдр

Большой-додекаэдр

Большой-додекаэдр имеет следующие характеристики:

  • Грани: – 60 треугольников

  • Вершины: - 12

  • Ребра - 130

 

*описание многогранника на страницах набора "Волшебные грани"

Видео. Вращение многогранника

 
Сборка многогранника:

Заказать набор для сборки

Заказать набор на нашем сайте mnogogranniki.ru

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 

 

 

Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра

Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра

 

*описание многогранника на страницах набора "Волшебные грани"

 

Тетраэдр

Тетраэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, «хедра» - означает грань (тетраэдр – четырехгранник). ПлатонМногогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Тетраэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 4;
  • Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
  • Общее число вершин – 4;
  • Общее число рёбер – 6;

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Математические характеристики тетраэдра

Тетраэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы тетраэдра

Радиус сферы описанной вокруг тетраэдра

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в тетраэдр

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Радиус сферы вписанной в тетраэдр

площадь поверхности тетраэдра

Площадь поверхности тетраэдра S tetrДля нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра

V tetr

 

Вариант развертки

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с "земным" элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

На рис.2 представлена развертка тетраэдра:

развертка тетраэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка
- если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон - развертка

 

 

 

Видео. Вращение тетраэдра из набора "Волшебные грани"

Видео. Сборка многогранника из набора

 

Заказать набор для сборки

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 
Усечённый октаэдр

Усечённый октаэдр

Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин октаэдра.

АрхимедУсечённый октаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Усечённый октаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками двух типов - шестиугольник и четырехугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

 

Видео. Процесс преобразования октаэдра в усечённый октаэдр

Усечение всех шести вершин октаэдра приводит к образованию усечённого октаэдра. Треугольные грани исходного многогранника теряют в площади и преобразуются в шестиугольные грани.

 

Видео. Сборка многогранника

 

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

Развертка

на рис.2 представлена развертка усечённого октаэдра:

развертка усечённого октаэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка;

- если Вы предполагаете использовать цветную бумагу- развертка.