соединение двух тетраэдров

Звёздчатый октаэдр (или соединение двух тетраэдров)

Представленное изображение данного многогранника иллюстрирует именно второе его название - соединение двух тетраэдров. Так Вы можете представить себе тетраэдр красного цвета направленный вверх сквозь который проходит бежевый тетраэдр направленный вниз.

Однако математики предпочитают именовать многогранник звёздчатым октаэдром.

Звёздчатый октаэдр можно было бы признать правильным многогранником, так как все его грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны. Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником на равне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них.

 
 
 
 

История открытия


Звёздчатый октаэдр был впервые изображен в 1509 г. в книге De divina proportione («О божественных пропорциях»). Автором которой являлся математик Лука Пачоли (1445-1514 гг.). А иллюстрация для книги принадлежит руке Леонардо да Винчи.
Звёздчатый октаэдр был выполнен в виде восьми каркасных тетраэдров соединенных между собой.
 
Затем, спустя почти 100 лет многогранник был  переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная.
 
Именно такая иллюстрация звёздчатого октаэдра вызывает споры о том, каким образом был открыт  этот многогранник.
звёздчатый октаэдр Лернардо да Винчи
создание звездчатого октаэдра 1-й возможный вариант это к сторонам октаэдра присоединить 8 тетраэдров
 
Или продолжить плоскости параллельные сторонам октаэдра, получив на пересечении плоскостей те же самые 8 тетраэдров.  Иными словами, создать звездчатую форму октаэдра.
рождение звездчатого октаэдра
 
 
Второй путь: Объединить между собой два тетраэдра.
Что наглядно иллюстрирует окраска граней в два цвета – красный и бежевый.
объединение двух тетраэдров  
 

 

Видео. Вращение многогранника

Видео-ролик преобразования

Видео от наших партнеров – команда  ART KOSEKOMA, наглядно демонстрирует, как можно преобразовать октаэдр в звездчатую форму и получить два тетраэдра.

 

Сначала грани октаэдра, вытягиваясь, образуют звёздчатую форму. Затем видео-ролик показывает, как звёздчатый октаэдр можно разложить на два тетраэдра.

 

Свойства многогранника

1. Многогранник является единственной звёздчатой формой октаэдра.

звездчатый октаэдр вписан в куб
2. Интересная особенность многогранника. Если соединить между собой все остроконечные вершины, то линии пересечения точно соответствуют ребрам куба. 
Таким образом, звёздчатый октаэдр может быть вписан в куб.

тень звездчатого октаэдра

3. Если посмотреть на многогранник сверху, либо на отбрасываемую тень, то контуры рисунка будут создавать правильную шестиугольную звезду.
Шестиугольная звезда в виде двух перекрещивающихся треугольников это древнейший символ, который именуется как Звезда Давида (еще одно название - Печать царя Соломона).
звездчатый октаэдр и звезда давида

Развертка 1

развертка соединения двух тетраэдров
Первый из предлагаемых вариантов сборки – это склеить звёздчатый октаэдр из единой развертки. Такой вариант наиболее часто можно встретить в учебной литературе. Однако, ограничением является размер листа. В том случае если это лист формата А4, то размеры готового многогранника весьма скромные.
 

Развертка 2

Второй вариант, когда отдельно собираются октаэдр и 8 заготовок в виде пирамид. Затем к сторонам октаэдра поочередно приклеиваются все заготовки. Данный вариант более предпочтителен для начинающих моделистов.

развертка соединения двух тетраэдров

развертка соединения двух тетраэдров

развертка соединения двух тетраэдров

Скачать 1 Скачать 2 Скачать 3

Развертка 3

развертка звездчатого тетраэдра
На страницах интернета нам встретился весьма необычный вариант сборки, так же в виде единой развертки.
 
 

 

Ромбо-усечённый-икосо-додекаэдр

Ромбо-усечённый-икосо-додекаэдр

АрхимедРомбо-усечённый икосо-додекаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр- полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками трех типов - десятиугольник, шестиугольник и треугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

 

Как образован многогранник

преобразование додекаэдра
преобразование стороны додекаэдраНа первом этапе додекаэдр за счет срезания 12 вершин преобразуется в икосо-додекаэдр.
Исходная сторона додекаэдра сохраняет свою пятиугольную форму, но теряет в площади.
 
 
 
 
 
преобразование додекаэдра
преобразование грани додекаэдраНа втором этапе срезание 30 вершин икосо-додекаэдра, или ромбо-усечение приводит к образованию нового геометрического тела – ромбо-усеченного икосо-додекаэдра.
Сторона исходного додекаэдра помимо предыдущего преобразования теряет углы и превращается в 10-ти угольник.

 

 

Детали многогранника

Для построения модели потребуются следующие детали:
- 12 шт. десятиугольников
- 20 шт. шестиугольников
- 30 шт. квадратов
Вы можете самостоятельно изготовить модель многогранника, как используя стандартные геометрические фигуры, так и скачав листы с фигурами - цветная развертка. Для этого Вам потребуются 3 листа формата А4

развертка ромбоусеченного икосододекаэдра

Видео. Сборка многогранника

 

Видео.

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

 

13-я звездчатая форма икосо-додекаэдраСоединение пяти тетраэдровМалый икосо-икосо-додекаэдрБольшой икосаэдрБольшой кубо-кубо-октаэдрМалый кубо-кубо-октаэдр14-я заёздчатая форма икосаэдраБольшой додекаэдрМалый звёздчатый додекаэдрМалый икосо-геми-додекаэдрДодека-додекаэдрБольшой звёздчатый додекаэдрУсечённый большой икосаэдрсоединение куба и октаэдраПлосконосый додекаэдрПятая звёздчатая форма икосаэдраШестая звёздчатая форма икосаэдраПервая звёздчатая форма икосаэдраСедьмая звездчатая форма икосаэдраДевятая звездчатая форма икосаэдраБольшой битригональный икосо-додекаэдр14-я звёздчатая форма икосо-додекаэдра15-я звёздчатая форма икосо-додекаэдраШестнадцатая звездчатая форма икосо-додекаэдраБольшой додеко-икосо-додекаэдрСоединение пяти октаэдровДесятая звездчатая форма икосо-додекаэдраромбо-усечённый кубо-октаэдрРомбо-усеченный-икосо-додекаэдрИкосо-додекаэдрПлосконосый кубУсечённый икосододекаэдрЗвёздчатый октаэдрромбо-кубо-октаэдрУсечённый икосаэдрУсечённый додекаэдрУсечённый гексаэдрУсечённый октаэдрУсечённый тетраэдрКубо-октаэдрИкосаэдрДодекаэдрГексаэдрОктаэдрТетраэдрправильные пирамидыправильные усечённые пирамидыпараллелепипедправильные призмы

Усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр

Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин икосаэдра.

АрхимедУсечённый икосаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Усечённый икосаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками двух типов - шестиугольник и пятиугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

усечённый икосаэдрмногогранник футбольный мячфутбольный мяч

Главной особенностью этого многогранника является то, что его форма послужила основой для  изготовления футбольного мяча. Это становится очевидным, после того как применить черно-белый вариант окраски граней.

 

Видео. Процесс преобразования икосаэдра в усечённый икосаэдр

Усечение всех 12-ти вершин икосаэдра приводит к образованию усечённого икосаэдра. Треугольные грани исходного многогранника теряют в площади и преобразуются в шестиугольные грани. 

 

Видео. Сборка многогранника

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

Развертка

На рисунке представлена развертка усечённого икосаэдра:

развёртка усеченного икосаэдра

В данном случае мы не стали объединять все детали в единую развертку, так как если распечатать ее на одном листе формата А4, то конечный масштаб собранной фигуры будет весьма мал.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на двух листах формата А4. Обратите внимание, что листы одинаковые!

Развертка выполнена в цветах соответствующих классической раскраске футбольного мяча.

Скачать развертку.

 

 

Усечённый додекаэдр

Усечённый додекаэдр

Многогранник получается при последовательном срезании каждой из вершин додекаэдра.

АрхимедУсечённый додекаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Усечённый икосаэдр - полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками двух типов - десятиугольник и треугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

Видео. Процесс преобразования додекаэдра в усечённый додекаэдр

Усечение всех 20-ти вершин додекаэдра приводит к образованию усечённого додекаэдра. Пятиугольные грани исходного многогранника теряют в площади и преобразуются в десятиугольные грани.

 

Видео. Сборка многогранника

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

Развертка

На рисунке представлена развертка усечённого додекаэдра:

развертка усеченного додекаэдра

В данном случае мы не стали объединять все детали в единую развертку, так как если распечатать ее на одном листе формата А4, то конечный масштаб собранной фигуры будет весьма мал.

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на двух листах формата А4. Обратите внимание, что листы одинаковые!

- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка

- если Вы предполагаете использовать цветной картон: скачать развертку


 
Тетраэдр

Тетраэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, «хедра» - означает грань (тетраэдр – четырехгранник). ПлатонМногогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Тетраэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 4;
  • Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
  • Общее число вершин – 4;
  • Общее число рёбер – 6;

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Математические характеристики тетраэдра

Тетраэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы тетраэдра

Радиус сферы описанной вокруг тетраэдра

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в тетраэдр

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Радиус сферы вписанной в тетраэдр

площадь поверхности тетраэдра

Площадь поверхности тетраэдра S tetrДля нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра

V tetr

 

Вариант развертки

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с "земным" элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

На рис.2 представлена развертка тетраэдра:

развертка тетраэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка
- если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон - развертка

 

 

 

Видео. Вращение тетраэдра из набора "Волшебные грани"

Видео. Сборка многогранника из набора

 

Заказать набор для сборки

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 
Октаэдр

Октаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Окто» означает восемь, «хедра» - означает грань (октаэдр – восьмигранник). ПлатонМногогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Октаэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 8;
  • Число рёбер примыкающих к вершине – 4;
  • Общее число вершин – 6;
  • Общее число рёбер – 12;

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Математические характеристики октаэдра

Октаэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы октаэдра

, где a - длина стороны.

сфера вписанная в октаэдр

Радиус вписанной сферы октаэдра

площадь поверхности октаэдра

Площадь поверхности октаэдра

Для нагладности площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки.

объем октаэдра

Объем октаэдра

 
 

Варианты разверток

Древнегреческий философ Платон ассоциировал октаэдр с "земным" элементом воздух, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали серый цвет.

На рис.2 представлена развертка октаэдра:

развертка октаэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка
- если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон - развертка

Классический вариант раскраски предполагает окраску октаэдра черыремя различными цвветами, причем таким образом, что каждая грань имеет свой цвет отличный от соседней и только противоположные не соприкасающиеся друг с другом грани окрашиваются в одинаковые цвета.

Вариант окраски представлен на рисунке. Вы можете скачать развертку с соответствующей раскраской граней.

 

 

Видео. Вращение октаэдра из набора "Волшебные грани"

 

 

Видео. Вращение правильных многогранников

 

 

Видео. Сборка многогранника из набора

 

Заказать набор для сборки

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 

 

Гексаэдр, куб

Гексаэдр

(болееПлатон привычное название - куб)

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Гексо» означает шесть, «хедра» - означает грань (Гексаэдр – шестигранник). Многогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
форма грани кубаГранью многогранника является квадрат. Каждый из четырех уголов равен 90 градусов.

 

Характеристики гексаэдра (куба)

 Число сторон у граниЧисло сторон у грани - 4
Общее число граней кубаОбщее число граней - 6
Форма грани квадрат
 Число рёбер примыкающих к каждой вершине - 3Число рёбер примыкающих к каждой вершине Общее число вершин кубаОбщее число вершин - 8

Общее число ребер кубаОбщее число ребер - 12

параллельные ребраУ каждого ребра (красный) имеется три параллельных ребра (синий).
Количество пар параллельных ребер можно определить умножив общее количество ребер на 3.
В кубе 18 пар параллельных ребер.

 перпендикулярные ребраперпендикулярные ребра

 У каждого ребра (красный) имеются 8 перпендикулярных ему рёбер (синий). Определить количество пар перпендикулярных ребер можно умножив общее количество рёбер на 8 и разделив на 2.
Всего куб имеет 48 пар перпендикулярных рёбер.

скрещивающиеся ребраУ каждого ребра (красный) имеются 4 скрещивающихся с ним ребра.

Определить количество пар скрещивающихся рёбер можно умножив общее количество рёбер на 4 и разделив на 2.

Всего куб имеет 24 пары скрещивающихся рёбер.

параллельные граниКоличество пар параллельных граней - 3

Расстояние между противоположными рёбрамиРасстояние между противоположными рёбрами можно определить по формуле

form1

,где а - длина стороны

 Длина диагонали кубаДлину диагонали куба можно определить по формуле

form2

 центр симметрии кубаКуб обладает центром симметрии

 

 Куб имеет 9 осей симметрии.

 Три оси симметрии это прямые проходящие через центр параллельных граней куба:

ось вращения куба

ось вращения куба разрез куба плоскостью симметрии

 Шесть осей симметрии это прямые соединяющие центры противолежащих рёбер куба:

ось симметрии куба ось симметрии куба ось симметрии куба
ось симметрии куба ось симметрии куба ось симметрии куба

 

 Куб имеет 9 плоскостей симметрии

 Три плоскости проходят через центр параллельно граням

разрез куба плоскостью симметрии разрез куба плоскостью симметрии разрез куба плоскостью симметрии

 Шесть плоскостей проходят через центр по диагонали

разрез куба плоскостью симметрии разрез куба плоскостью симметрии разрез куба плоскостью симметрии
разрез куба плоскостью симметрии разрез куба плоскостью симметрии разрез куба плоскостью симметрии

 

Куб вписанный в сферу

Около куба можно описать сферу, которой принадлежат все вершины куба. Радиус описанной сферы куба

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в куб

Куб может быть вписан в сферу. Сфера коснется в центре каждой грани куба.

Радиус вписанной сферы куба

полувписанная сфера в кубеСферу можно вписать в куб таким образом, что она коснется поверхностью всех рёбер куба. Такая сфера именуется - полувписанная в куб.

Радиус полувписанной сферы можно определить по формуле:

form3

 

Площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба

Для нагладности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.

Объём куба

Объем куба

 
 

Развертки

Древнегреческий философ Платон ассоциировал гексаэдр с землёй – одним и базовых «земных» элементов, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали коричневый цвет.

На рис.2 представлена развертка гексаэдра:

развертка гексаэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка (pdf)    (jpg)
- если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон - разверткa (pdf)      (jpg)

 

 

Видео. Вращение куба из набора "Волшебные грани"

Видео. Сборка многогранника из набора

 

Заказать набор для сборки

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 
 
 
Большой звездчатый додекаэдр

Большой звёздчатый додекаэдр

Большой звёздчатый додекаэдр - является одним из четырех правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

Гранью многогранника является правильный звёздчатый многоугольник, который состоит из правильных

треугольников.

forma grani

Форма грани имеет следующий вид:

Многогранник состоит из 60-ти

треугольных граней.

 

* подробное описание многогранника на страницах набора "Волшебные грани"

Видео. Вращение многогранника

 

Видео. Сборка многогранника из набора

 

Заказать набор для сборки

Заказать набор на нашем сайте mnogogranniki.ru

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru 

 

Икосаэдр

Икосаэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Икоси» означает двадцать, «хедра» - означает грань (Икосаэдр – двадцатигранник).  ПлатонМногогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Икосаэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 20;
  • Число рёбер примыкающих к вершине – 5;
  • Общее число вершин – 12;
  • Общее число рёбер – 30;

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Математические характеристики икосаэдра

Икосаэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы икосаэдра

, где a - длина стороны.

сфера вписанная в икосаэдр

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Площадь поверхности икосаэдра

Площадь поверхности икосаэдра Для нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем икосаэдра

Объем икосаэдра

 

Развертки

Древнегреческий философ Платон ассоциировал икосаэдр с "земным" элементом вода, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали голубой цвет.

На рис.2 представлена развертка икосаэдра:

развертка икосаэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка
- если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон - развертка

Кроме того, существуют два классических варианта окраски многогранника, когда каждая из соседних граней окрашена в свой цвет. Либо используется определенное количество цветов раскраски, причем одинаковые цвета не граничат друг с другом.

Представляем Вашему вниманию два варианта окраски икосаэдра с использованием пяти цветов.

развертка икосаэдра

Первый вариант раскраски икосаэдра предполагает, что у каждой

вершины встретятся все пять цветов.

Скачать развёртку:

икосаэдр

развертка икосаэдра

Второй вариант раскраски икосаэдра обеспечивает противоположным граням одинаковые цвета. 

 Скачать развёртку:

икосаэдр

 

 

 

Видео. Вращение икосаэдра

Видео. Вращение правильных многогранников

 

Видео. Сборка многогранника из набора

Заказать набор для сборки

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере

 

Заказать набор в интернет магазине-партнере OZON.ru