соединение двух тетраэдров

Звёздчатый октаэдр (или соединение двух тетраэдров)

Представленное изображение данного многогранника иллюстрирует именно второе его название - соединение двух тетраэдров. Так Вы можете представить себе тетраэдр красного цвета направленный вверх сквозь который проходит бежевый тетраэдр направленный вниз.

Однако математики предпочитают именовать многогранник звёздчатым октаэдром.

Звёздчатый октаэдр можно было бы признать правильным многогранником, так как все его грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны. Но на самом деле это геометрическое тело не является шестым правильным многогранником на равне с пятью известными Платоновыми телами. Причина в том, что в определении правильного многогранника присутствует слово выпуклый, то есть все грани должны лежать по одну сторону от плоскости, проходящей через любую из них.

 
 
 
 

История открытия


Звёздчатый октаэдр был впервые изображен в 1509 г. в книге De divina proportione («О божественных пропорциях»). Автором которой являлся математик Лука Пачоли (1445-1514 гг.). А иллюстрация для книги принадлежит руке Леонардо да Винчи.
Звёздчатый октаэдр был выполнен в виде восьми каркасных тетраэдров соединенных между собой.
 
Затем, спустя почти 100 лет многогранник был  переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная.
 
Именно такая иллюстрация звёздчатого октаэдра вызывает споры о том, каким образом был открыт  этот многогранник.
звёздчатый октаэдр Лернардо да Винчи
zv okt 1 1-й возможный вариант это к сторонам октаэдра присоединить 8 тетраэдров
 
Или продолжить плоскости параллельные сторонам октаэдра, получив на пересечении плоскостей те же самые 8 тетраэдров.  Иными словами, создать звездчатую форму октаэдра.
zv okt 2
 
 
Второй путь: Объединить между собой два тетраэдра.
Что наглядно иллюстрирует окраска граней в два цвета – красный и бежевый.
zv okt 3  
 

Видео-ролик преобразования

Видео от наших партнеров – команда  ART KOSEKOMA, наглядно демонстрирует, как можно преобразовать октаэдр в звездчатую форму и получить два тетраэдра.

 

Сначала грани октаэдра, вытягиваясь, образуют звёздчатую форму. Затем видео-ролик показывает, как звёздчатый октаэдр можно разложить на два тетраэдра.

Свойства многогранника

1. Многогранник является единственной звёздчатой формой октаэдра.

zv okt 4
2. Интересная особенность многогранника. Если соединить между собой все остроконечные вершины, то линии пересечения точно соответствуют ребрам куба. 
Таким образом, звёздчатый октаэдр может быть вписан в куб.

zv okt 5

3. Если посмотреть на многогранник сверху, либо на отбрасываемую тень, то контуры рисунка будут создавать правильную шестиугольную звезду.
Шестиугольная звезда в виде двух перекрещивающихся треугольников это древнейший символ, который именуется как Звезда Давида (еще одно название - Печать царя Соломона).
zv okt 6

Развертка 1

razvertka-zv-oktaedra
Первый из предлагаемых вариантов сборки – это склеить звёздчатый октаэдр из единой развертки. Такой вариант наиболее часто можно встретить в учебной литературе. Однако, ограничением является размер листа. В том случае если это лист формата А4, то размеры готового многогранника весьма скромные.
 

Развертка 2

Второй вариант, когда отдельно собираются октаэдр и 8 заготовок в виде пирамид. Затем к сторонам октаэдра поочередно приклеиваются все заготовки. Данный вариант более предпочтителен для начинающих моделистов.

razvertka-zv-oktaedra-list-1

razvertka-zv-oktaedra-list-2

razvertka-zv-oktaedra-list-3

Скачать 1 Скачать 2 Скачать 3

Развертка 3

razvertka-zv-oktaedra4
На страницах интернета нам встретился весьма необычный вариант сборки, так же в виде единой развертки.
 
 

 

 

 

350x350

Ромбо-усечённый-икосо-додекаэдр

АрхимедРомбо-усечённый икосо-додекаэдр является одним из 13 тел Архимеда.

Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр- полуправильный выпуклый многогранник, обладающий двумя свойствами:
1. Все грани являются правильными многоугольниками трех типов - десятиугольник, шестиугольник и треугольник;
2. Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани - правильные многоугольники, но они не одинаковы при этом сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

 

Как образован многогранник

преобразование додекаэдра
преобразование стороны додекаэдраНа первом этапе додекаэдр за счет срезания 12 вершин преобразуется в икосо-додекаэдр.
Исходная сторона додекаэдра сохраняет свою пятиугольную форму, но теряет в площади.
 
 
 
 
 
preobraz ik dodek
side2На втором этапе срезание 30 вершин икосо-додекаэдра, или ромбо-усечение приводит к образованию нового геометрического тела – ромбо-усеченного икосо-додекаэдра.
Сторона исходного додекаэдра помимо предыдущего преобразования теряет углы и превращается в 10-ти угольник.

 

 

Детали многогранника

Для построения модели потребуются следующие детали:
- 12 шт. десятиугольников
- 20 шт. шестиугольников
- 30 шт. квадратов
Вы можете самостоятельно изготовить модель многогранника, как используя стандартные геометрические фигуры, так и скачав листы с фигурами - цветная развертка.Для этого Вам потребуются 3 листа формата А4

mini razv

Видео. Сборка многогранника

 

Видео.

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

 

 

 

 

Большой икосаэдрМалый кубо-кубо-октаэдр14-я заёздчатая форма икосаэдраБольшой додекаэдрМалый звёздчатый додекаэдрМалый икосо-геми-додекаэдрДодека-додекаэдрБольшой звёздчатый додекаэдрcub oktaedr 120Плосконосый додекаэдр1 zv ikos 1205th form icosi 1206th form icosi 1207th form icosi 1209th form icosi 12016th form icosi dodeca 120big bitr icosi dodek 12060 12062 120big dodecicosi dodec 1205 oktaedr 1203 zv ikoso dodek 120rombo-usechennyj-kubo-oktaedr-120Ромбо-усеченный-икосо-додекаэдрИкосо-додекаэдрПлосконосый кубУсечённый икосододекаэдрЗвёздчатый октаэдрrombo-kubo-oktaedr-120Усечённый икосаэдрУсечённый додекаэдрУсечённый гексаэдрУсечённый октаэдрУсечённый тетраэдрКубо-октаэдрИкосаэдрДодекаэдрГексаэдрОктаэдрТетраэдр

Четырнадцатая звёздчатая форма икосаэдра

 

*описание многогранника на страницах набора "Волшебные грани"

 

 

 

Тетраэдр

Тетраэдр

Древние греки дали многограннику имя по числу граней. «Тетра» означает четыре, «хедра» - означает грань (тетраэдр – четырехгранник). ПлатонМногогранник относится к правильным многогранникам и является одним из пяти платоновых тел.
Тетраэдр имеет следующие характеристики:

  • Тип грани – правильный треугольник;
  • Число сторон у грани – 3;
  • Общее число граней – 4;
  • Число рёбер примыкающих к вершине – 3;
  • Общее число вершин – 4;
  • Общее число рёбер – 6;

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии.

Видео

Видео от наших партнеров - команда "ART KOSEKOMA", наглядно демонстрирует как развертка преобразуется в геометрическую фигуру:

 

 

 

 

 

Развертки

Древнегреческий философ Платон ассоциировал тетраэдр с "земным" элементом огонь, поэтому для построения модели этого правильного многогранника мы выбрали красный цвет.

На рис.2 представлена развертка тетраэдра:

развертка тетраэдра

Для построения модели Вы можете скачать развертку в формате pdf  и распечатать на листе формата А4:
- если Вы предполагаете распечатать на цветном принтере - цветная развертка
- если Вы предполагаете использовать для сборки цветной картон - развертка

 

 

 

 

 

Характеристики тетраэдра

Тетраэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы тетраэдра

Радиус сферы описанной вокруг тетраэдра

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в тетраэдр

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Радиус сферы вписанной в тетраэдр

площадь поверхности тетраэдра

Площадь поверхности тетраэдра S tetrДля нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра

V tetr