Развертки тел вращения

тела вращения

Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон?
 
Одним лишь вращением мы можем создать новое геометрическое тело в пространстве.
Боковые поверхности цилиндра образуются за счет сторон вращающегося прямоугольника.
vr cilind
 
Официальное определение для таких геометрических тел, звучит следующим образом:
Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
 
И здесь важно то, что плоская геометрическая фигура может быть совершенно произвольной формы.
Например, кривая, которая при вращении будет образовывать вазу или лампочку. Такие инструменты создания тел вращения очень популярны у тех, кто работает в программах 3D-проектирования.
vr primer
 
 
Но с математической точки зрения, для нас, прежде всего, интересны следующие геометрические тела вращения:
 
как образуется цилиндр
Цилиндр - образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.
как образуется конус
Конус - образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.
как образуется усечённый конус
Усечённый конус - часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям трапеции.
как образуется шар
Шар - образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.
При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).
как образуется эллипс
Эллипсоид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.
как образуется тор
Тор - образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его.
В обычном понимании тор - это "бублик".
как образуется параболоид
Параболоид - это поверхность, которая образуется в результате вращения вокруг оси кривой образованной графиком параболы. Отсюда и название параб-о-лоид.
как образуется гиперболоид
Гиперболоид - это поверхность, которая образуется в результате вращения вокруг оси кривой образованной графиком гиперболы. Соответственно название гиперб-о-лоид.

Как сделать цилиндр из бумаги?
cilindr
Предлагаем вам построить модель цилиндра, со следующими характеристиками: высота 150 мм, диаметр основания 65 мм.
Скачать развертку цилиндра
razv cilinder ris
 
 
Усечённый цилиндр, геометрическое тело, отсекаемое от цилиндра плоскостью, непараллельной основанию.
cilindr us

Предлагаем вам построить модель усеченного цилиндра, со следующими характеристиками: высота 165 мм, диаметр основания 65 мм, угол наклона секущей плоскости 45°.
Скачать развертку усечённого цилиндра
razv cilinder usech ris
 
Схема сборки усеченного цилиндра:
cilinder1
1. Соедините развёртку, так, чтобы получилась трубочка.
 
 
cilinder2
2. Чтобы избежать сложностей и сдвигов при приклеивании оснований, мы рекомендуем  сначала приклеить вспомогательные элементы. Это позволит безпрепятственно придерживать их при склеивании и создаст правильную форму геометрической конструкции.
 
cilinder3
3. Аналогичную процедуру проделываем для нижнего основания.
 
cilinder4
4. Приклеиваем основания.
 
 
Пример усечённого цилиндра из архитектуры:
В 1989 году в г.Копенгаген (Дания) построили планетарий в форме усеченного цилиндра.  
c0
 
Как сделать конус из бумаги?
cone 7
Предлагаем вам построить модель усеченного конуса, со следующими характеристиками: высота 185 мм, диаметр основания 90 мм.
Скачать развертку конуса
razv konus ris
 

Какие могут быть сечения у конуса?
cone sech var
В зависимости от угла наклона секущей плоскости к основанию конуса могут быть образованы четыре варианта сечений: круг, эллипс, парабола, гипербола.
conus var sech
Пример из архитектуры: основание Останкинской телебашни в Москве имеет форму усеченного конуса:
con1
 
cone usech7
Предлагаем вам построить модель усеченного конуса, со следующими характеристиками: высота 185 мм, диаметр основания 90 мм, угол наклона секущей плоскости 55°, форма сечения – эллипс.Скачать развертку усеченного конуса с сечением эллипс.
razv konus sech ris
 
Схема сборки эллиптического конуса:
conus1
1. Соедините развёртку, так, чтобы получилась трубочка.
 
 
conus3
2. Чтобы избежать сложностей и сдвигов при приклеивании оснований, мы рекомендуем  сначала приклеить вспомогательные элементы. Это позволит безпрепятственно придерживать их при склеивании и создаст правильную форму геометрической конструкции.
 
conus2
3. Аналогичную процедуру проделываем для нижнего основания.
conus4
4. Приклеиваем основания.
 
 
cone usech parab7
Предлагаем вам построить модель усеченного конуса, со следующими характеристиками: высота 110 мм, диаметр основания 100 мм, угол наклона секущей плоскости 65°, толщина среза относительно основания 10 мм, форма сечения – парабола.
Скачать развертку усеченного конуса с сечением парабола (или параболического конуса).
razv konus parab ris
 

 Обратите внимание! Других тел вращения построить из бумаги нельзя. Только: цилиндр и конус, включая всевозможные сечения.
shar
Казалось бы, о чем нам еще говорить здесь? Нельзя, значит нельзя. Но есть маленькое «но». Из бумаги можно построить тела приближенные к таким телам вращения как шар, эллипсоид, тор, параболоид и гиперболоид.
То есть, чем больше лепестков будет содержать развертка, тем больше модель будет приближаться к округлой форме.
 
 
 
Как сделать параболоид из бумаги?
параболоид
Предлагаем вам построить модель параболоида, со следующими характеристиками: высота 130 мм, диаметр основания 85 мм.Скачать развертку параболоида.
razv parabol ris
Схема сборки параболоида:
paraboloid1
1. Склеиваем верхнюю часть развёртки.
paraboloid2
2. Соединяем вместе. Образуется куполообразная часть.
paraboloid3
3. Чтобы избежать сложностей и сдвигов при приклеивании основания, мы рекомендуем  сначала приклеить вспомогательные элементы. Это позволит безпрепятственно придерживать их при склеивании и создаст правильную форму геометрической конструкции.
paraboloid4
4. Приклеиваем основание.

Пример из архитектуры.
p0
Здания точно повторяющего формулу параболы нам найти не удалось. Но, тем не менее, в Лондоне (Великобритания) есть небоскрёб с очень необычной формой.
Небоскреб Мэри-Экс, именуемый местными жителями «огурец» (англ. The Gherkin), не имеет углов, что не позволяет ветровым потокам стекать вниз и обеспечивает естественную вентиляцию. Высота 41 этажного здания 180 метров. Диаметр здания у основания составляет 49 метров, затем здание плавно расширяется, достигая максимального диаметра в 57 метров на уровне 17 этажа. Далее конструкция сужается, достигая минимального диаметра в 25 метров.
 
Как сделать гиперболоид из бумаги? 
гиперболоид
Предлагаем вам построить модель гиперболоида, со следующими характеристиками: высота 110 мм, диаметр основания 70 мм.
razv hiper ris
Схема сборки гиперболоида:
hiperboloid1
1. Соединяем две "самые маленькие" полоски через центр.
hiperboloid2
2. Должно получиться так, как показано на рисунке.
 
hiperboloid3
3. Приклеиваем еще две полоски, те, что средние по величине.
hiperboloid4
4.
hiperboloid5
5. Приклеиваем самые большие полоски.
hiperboloid6
6
hiperboloid7
7. Соединяем развертку вместе.
 
 
 
 
 
hiperboloid8
8. Чтобы избежать сложностей и сдвигов при приклеивании оснований, мы рекомендуем  сначала приклеить вспомогательные элементы. Это позволит безпрепятственно придерживать их при склеивании и создаст правильную форму геометрической конструкции.
hiperboloid10
9. Приклеиваем основания.
 
 
 
 
 
Пример гиперболоида из архитектуры.
Зданий имеющих формулу гиперболоида достаточно много:
Самые первые конструкции были созданы под руководством русского инженера Шухова В.Г. - знаменитая шуховская башня в Москве, год постройки 1922.
htower

Из современных построек отметим башню в г.Гуанчжоу (Китай)  высота 600 метров, год посторойки 2010.
Кроме того, нам показалась весьма красивой Башня Торнадо в г.Доха (Катар). 195-ти метровая конструкция, возведенная в 2008 имеет свой непередаваемый стиль.
h00 
 

Для сопоставимости размеров получающихся моделей тел вращения мы постарались собрать их на одной поверхности вместе с призмами из выпуска «Волшебные грани № 16».
тела вращения и призмы
 
Получился целый математический город из бумаги, умещающийся на столе!

 
© mnogogranniki.ru  07/07/2017