Математические характеристики платоновых тел

У каждого из пяти платоновых тел можно определить следующие математические характеристики:
1. Радиус сферы описанной вокруг многогранника;
2. Радиус сферы вписанной в многогранник;
3. Площадь поверхности многогранника;
4. Объем многогранника.

Тетраэдр:  Все четыре грани – равносторонние треугольники.

Тетраэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы тетраэдра

Радиус сферы описанной вокруг тетраэдра

 

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в тетраэдр

Радиус вписанной сферы тетраэдра

Радиус сферы вписанной в тетраэдр

площадь поверхности тетраэдра

Площадь поверхности тетраэдра S tetrДля нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем тетраэдра

 

Объем тетраэдра

V tetr

 

Октаэдр:  Все восемь граней – равносторонние треугольники.

Октаэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы октаэдра

 

, где a - длина стороны.

сфера вписанная в октаэдр

Радиус вписанной сферы октаэдра

площадь поверхности октаэдра

Площадь поверхности октаэдра

Для нагладности площадь поверхности октаэдра можно представить в виде площади развёртки.

объем октаэдра

 

Объем октаэдраоктаэдра

 

Гексаэдр (куб):  Все шесть граней – квадраты.

Куб вписанный в сферу

Радиус описанной сферы куба

 

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в куб

Радиус вписанной сферы куба

Площадь поверхности куба

Площадь поверхности куба

Для нагладности площадь поверхности куба можно представить в виде площади развёртки.

Объём куба

 

Объем куба

 

Додекаэдр: Все 12 граней – правильные пятиугольники.

Додекаэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы додекаэдра

 

, где a - длина стороны.

Сфера вписанная в додекаэдр

Радиус вписанной сферы додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра Для нагладности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем додекаэдра

 

Объем додекаэдра

 

Икосаэдр: Все 20 граней – равносторонние треугольники.

Икосаэдр вписанный в сферу

Радиус описанной сферы икосаэдра

 

, где a - длина стороны.

сфера вписанная в икосаэдр

Радиус вписанной сферы икосаэдра

Площадь поверхности икосаэдра

Площадь поверхности икосаэдра Для нагладности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде площади развёртки.

Объем икосаэдра

 

Объем икосаэдра